2015年湖南理科数学填空题

　　（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

　　11. .

　　12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.

　　若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .

　　13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .

　　14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .

　　15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .

2015年湖南理科数学解答题

　　16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：

　　（1）；

　　（2）

　　（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

　　（1）          将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

　　（2）设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.

　　（Ⅲ）设，且.

　　（1）；

　　（2）与不可能同时成立.

　　17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角》

　　(1)证明：

　　（2）求的取值范围

　　18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

　　（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

　　（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.

　　19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上.

　　（1）若P是的中点，证明：；

　　（2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.

　　20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.

　　（1）求的方程；

　　（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向

　　（ⅰ）若，求直线的斜率

　　（ⅱ）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形

　　21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明：

　　（1）数列是等比数列

　　（2）若，则对一切，恒成立.

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