圆周密率

　　齐高帝知道全国上下把宋朝恨透了，就决心让朝廷的风气变变样儿。他对大臣们说：“要是能给我十年的时间，我准能让天下的人都富裕起来。就是最贵重的黄金，我也让它贱得跟泥土一个价钱。”为了这个，他对老百姓减轻了税收，办什么事都注意节省。老百姓觉着比在宋朝的时候日子好过了，齐高帝的皇位也就稳当了。齐高帝死了以后，他儿子即位，就是齐武帝。齐武帝完全照齐高帝的法子管理朝政，齐朝果然一直安定了十多年。

　　齐武帝很重视发展生产和文化。他的二儿子肖子良更是喜欢研究学问。肖子良看到古书上说，有一种挺怪的水罐叫欹器[欹yī〕。这种水罐空着的时候，就在一边斜着;装了一半水就稳稳当当地直起来;等装满了水，又一个跟头翻过去了。据说孔子曾经看见过这种水罐，还叹着气说：“哪儿有自满而不翻个儿的呐?”肖子良想做这么一个欹器放在身边儿，时常提醒他自己别自满。他请当时有名的学者祖冲之给他做这个东西。

　　祖冲之懂得算学、天文，造个什么物件，也都很精通。还在宋朝的时候，祖冲之就提出了一种很精密的历法。本来在那以前，宋朝一直使用《元嘉历》。《元嘉历》虽说比以前的历法好一点儿，可经过十几年的验证，还是有不少毛病。祖冲之一直很认真地观察天象，又反复计算。到了儿制出了一种新历法。公元462年，他把新历法送给宋孝武帝，请他颁布施行。宋孝武帝还没说什么，大臣戴法兴就出来反对。戴法兴本来不懂历法，可偏说新历法不行。又是歪曲天象啦，又是违背经典啦，反正就是不能用新的，一切都是旧的好。祖冲之理直气壮地说：“对古人的历法，不能全信也不能全不信。如果说古历不能换，那《元嘉历》也不能用，它也是本朝才开始用的呀!咱们不是用了十多年了吗?”他又对宋孝武帝说：“天上的日、月、星，这些东西之间是怎么个关系，完全可以算得出来。这个新历法就是我算了这么多年才提出来的。它可不是随随便便地就能瞎说一气!”

　　宋孝武帝给说服了，决定采用祖冲之的新历法，把新历法叫作《大明历》。没想到《大明历》还没来得及正式公布使用，宋孝武帝就死了。这一来，改历法的事，也没有人提了[后来在梁武帝的时候得到采用，那时祖冲之已经死去十年了]。

　　祖冲之没有办法，只好自个儿去研究学问。他记起小的时候，读过一本古代的算书。里面说一个圆形的直径假如是一尺，那么这个圆的周长就是三尺[径一周三]。圆周率[周长跟直径的比]是三。祖冲之想亲自验证一下，看看这个说法到底对不对。他用绳子绕着车轮子，转了一圈几，再量出长短;又量了量车轮子的直径，结果发现周长并不正好是直径的三倍，而是比三倍还多一点儿。

　　后来，他又读了三国时候的大数学家刘徽的文章。刘徽认为：在圆里做一个正六边形，每边的长刚巧就和这个圆的半径一样长!而这个六边形的周长，也就是圆的直径的三倍;如果再把六边形每条边对着的一小段弧线一个一个地平分开，再做一个正十二边形，那这个十二边形的周长要比正六边形的周长大，可是比圆的周长小。照这么个办法，再接着做正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形……边数越多，它的周长和圆的周长越接近。这么一直做下去，就会跟圆周差不多合成一个。这个办法叫“割圆术”。刘徽用这种割圆术算出了九十六边形的周长是圆的直径的3.14倍。所以他说圆周率应该是3.14，还说实际上要比3.14略微大一点儿。

　　刘徽那么早地就算出这么比较精确的圆周率，真不简单。可是祖冲之还想再细算一下。他对儿子祖暅[gèng]说了这个心思，祖暅高兴地说：“您既然有这个想法，咱们就把圆再往下分，一定能算出比刘徽更准的数来!”

　　父子俩真地动手干起来了。他们把地磨平，画了一个直径一丈长的大圆，然后开始“割圆”：六边、十二边、二十四边、四十八边、九十六边，算的结果跟刘徽的一样。祖冲之二话没说，又往下割：一九二边、三八四边、七六八边、一五三六边、三○七二边、六一四四边、一二二八八边，最后画出了二四五七六边形。边数越多，边长越小。父子俩蹲在地下，头也不抬，恐怕算错了一点儿。那不就白费劲儿了吗?末了儿，他们算出二四五七六边形每一边边长是0.00012783丈，就是一厘二毫七丝八忽三微。这么短的长度要用针尖儿才画得出来。祖冲之他们费了多大劲儿就别提了。再往下画一个四九一五二边形，就太难了。祖冲之站起来说：“按道理，把这个圆这么割下去，是没完的。可实际上，咱们没法再割下去，就割到这儿吧!”

　　经过计算，二四五七六边形的周长是3.1415926丈;如果再做一个四九一五二边形呐，周长比这个还要长一点儿，可是超不过3.1415927丈。所以祖冲之认为圆周率应该在这两个数目中间，也就是比3.1415926大，而比3.1415927小。他还找出了两个分数，用来表示圆周率。一个是七分之二十二，等于3.1428571，不怎么准，可是好记;还有一个是一一三分之三五五，等于3.1415929，比较准。祖冲之把头一个分数叫“约率”，第二个分数叫“密率”。

　　祖冲之的这个圆周率，超过了所有的古人。他那时候，在全世界也是最精最细的[欧洲人还是在他一千年以后才算出这么精确的数字]。

　　祖冲之还造了指南车[车上有个小木人儿，不管车怎么转，小木人儿手指的方向总不变]，造出了水碓磨[用水的力量舂米、磨面、磨豆腐]。这一来，他的名气大起来了。到了刁回]齐武帝的时候，肖子良就请他来做欹器。祖冲之答应了，苦思苦想了好些天，果然做成了一个欹器，送给了肖子良。肖子良对祖冲之佩服极了。他举行一些宴会的时候，也常常请祖冲之来参加。